Question

某商品進貨價每件50元，據市場調查，當銷售價格(每件x元)在50＜x≤80時，每天售出的件數P＝，若想每天獲得的利潤最多，銷售價格每件應定為多少元？

Answer 1

解法一：設銷售價定為每件x元(50＜x≤80).

每天獲得利潤y元，則y＝(x－50)·P＝.

設x－50＝t，則0＜t≤30，

∴y＝＝≤＝2500.

當且僅當t=10，即x＝60時，y_max＝2500.

答：每件60元時，每天獲利最多，最多是2500元.

解法二：求y＝的最大值，還可轉化為二次函數的最大值問題解之.

令＝t，∵10＜x－40≤40，∴≤t＜.

y＝＝10⁵·t²(－10)＝10⁵(－10t²＋t).

當t＝，即x＝60時，y_max＝2500.

求y的最大值，還可以用二次函數的判別式方法解.

令x－40=t，則10＜t≤40，y＝，

即yt²－10⁵t＋10⁶＝0.                                                                                                            ①

Δ＝10¹⁰－4·10⁶·y≥0.

解之y≤2500，即y_max＝2500.

檢驗：當y＝2500時，方程①2500t²－10⁵t＋10⁶＝0，即t²－40t＋400＝0.

解之t＝20∈(10，40］.

這時x＝60.

點評：(1)設變量時，把最值變量定為函數，建立函數關系式.(2)構造相應的數學模型求最值.法一：令x－50=t，使分子最簡，同除以分子后，很容易用均值不等式求分母的最值.法二：令＝t，使二次函數式最簡，易于求二次函數y的最值.法三：令x－40=t，應用二次方程判別式求最值.但應注意檢驗.