Question

已知關(guān)于x的函數(shù)y=cos2x-4asinx-3a（a∈R）的最大值M（a）
（1）求M（a）；
（2）求M（a）的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)y的解析式為-2 （sinx+a）²+2a²-3a+1，令sinx=t∈[-1，1]，則 函數(shù)y=-2（t+a）²+2a²-3a+1．利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)在閉區(qū)間[-1，1]的最大值．
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，M（a）=a-1，最小值大于0． 當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，M（a）=2a²-3a+1，最小值為-

1

8

．當(dāng)a＜-1時(shí)，M（a）=-7a-1＞6．綜合可得M（a）的最小值．

解答：解：（1）函數(shù)y=cos2x-4asinx-3a=1-2sin²x-4asinx-3a=-2 （sinx+a）²+2a²-3a+1．
令sinx=t∈[-1，1]，則 函數(shù)y=-2（t+a）²+2a²-3a+1．
當(dāng)-a＜-1 時(shí)，即 a＞1 時(shí)，則t=-1時(shí)，M（a）=-2（-1+a）²+2a²-3a+1=a-1．
當(dāng)-1≤-a≤1 時(shí)，即 1≥a≥-1時(shí)，則t=-a時(shí)，M（a）=2a²-3a+1．
當(dāng)-a＞1 時(shí)，即 a＜-1時(shí)，則t=1時(shí)，M（a）=-2（1+a）²+2a²-3a+1=-7a-1．
綜上，M(a)= 

a-1  ， a＞1 2a2-3a +1 ，-1 ≤a≤1 -7a-1 ， a＜-1

．
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，M（a）=a-1，最小值大于0． 
當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，M（a）=2a²-3a+1，最小值為-

1

8

．
當(dāng)a＜-1時(shí)，M（a）=-7a-1＞6．
綜上可得 M（a）的最小值為-

1

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，二次函數(shù)的性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．