Question

已知關(guān)于x的函數(shù)y=

x2+1+c

x2+c

（1）若c=-1，求該函數(shù)的值域．
（2）當(dāng)c滿足什么條件時(shí)，該函數(shù)的值域?yàn)閇2，+∞）？說(shuō)明你的理由．
（3）求證：若c＞1，則y≥

1+c

c

．

Answer 1

分析：（1）換元法：令t=

x2-1

，則利用基本不等式即可得到值域；
（2）使函數(shù)有意義，再利用不等式，
即可得到函數(shù)的值域?yàn)閇2，+∞）時(shí)，c需滿足的條件；
（3）換元后，做差來(lái)比較y與

1+c

c

的大小關(guān)系．

解答：解：由于y=

x2+1+c

x2+c

，若令t=

x2+c

，則y=t+

1

t

（1）當(dāng)c=-1時(shí)，t=

x2-1

＞0
則y=

x2+1-1

x2-1

=t+

1

t

≥2

t• 1 t

=2
當(dāng)且僅當(dāng)t=

1

t

即x=±

2

時(shí)等號(hào)成立，
∴該函數(shù)的值域?yàn)閇2，+∞）；
（2）當(dāng)c≤1時(shí)，該函數(shù)的值域?yàn)閇2，+∞）．理由如下：
y=t+

1

t

（t＞0），
∴y≥2
當(dāng)且僅當(dāng)t=

1

t

即x=±

1-c

時(shí)等號(hào)成立，
∴該函數(shù)的值域?yàn)閇2，+∞）；
（3）證：由于y=t+

1

t

(t≥

c

)
則y-

1+c

c

=

t2+1

t

-

1+c

c

=

c t2+ c -t-ct

c •t

═

( c t-1)(t- c )

c •t

∵t≥

c

，∴t-

c

≥0
又由

c

t≥c＞1，∴

c

t-1＞0
∴y≥

1+c

c

（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)值域的求法，換元后利用基本不等式解決簡(jiǎn)單的求值域問(wèn)題要熟練掌握．