Question

數列{a_n}滿足a₁=1，，其中λ∈R，n=1，2，…．
①當λ=0時，a₂₀=    ；
②若存在正整數m，當n＞m時總有a_n＜0，則λ的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：①當λ=0時，a_n+1=a_n，利用累積法求通項公式后，再求a₂₀即可．
②記b_n=（n=1，2，…），則λ滿足．由此可求出故λ的取值范圍．
解答：解：①當λ=0時，
a_n+1=a_n，
=
∴

…
=
以上各式相乘得出
=
又a₁=1，
∴a_n=．
a₂₀=
②記b_n=（n=1，2，），根據題意可知，且λ≠n（n∈N^*），這時總存在n∈N^*，滿足：當n≥n時，b_n＞0；
當n≤n-1時，b_n＜0．所以由a_n+1=b_na_n及a₁=1＞0可知，若n為偶數，
則，從而當n＞n時，a_n＜0；若n為奇數，則，
從而當n＞n時a_n＞0．因此“存在m∈N^*，當n＞m時總有a_n＜0”
的充分必要條件是：n為偶數，
記n=2k（k=1，2，），則λ滿足．
故λ的取值范圍是λ∈（2k-1，2k），
故答案為：，（2k-1，2k），（k=1，2，），
點評：本題考查數列知識的綜合運用，考查累積法求通項公式，數列的函數性質，需具有計算、推理論證、分類討論的能力．