Question

拋物線x²=-2y中斜率為2的平行弦（動弦）的中點的軌跡方程是     ．

Answer 1

【答案】分析：設出直線方程和兩個交點坐標，與拋物線方程聯立消去y，利用判別式大于0求得b的范圍，同時根據韋達定理分別求得x₁+x₂的值，利用直線方程求得y₁+y₂的表達式，設出AB的中點的坐標，可求得x=-2，同時根據b的范圍可確定y的范圍，最后可求得所求的軌跡方程．
解答：解：設直線方程為y=2x+b
設兩個交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）聯立拋物線x²=-2y與直線方程y=2x+b，
消去y，可得x²+4x+2b=0△=16-4•1•2b＞0∴b＜2 ①
另根據韋達定理有：x₁+x₂=-4 ②
而A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都在直線y=2x+b上，可分別代入得到：y₁=2x₁+b y₂=2x₂+b
∴y₁+y₂=2（x₁+x₂）+2b將②代入上式，可得：y₁+y₂=2b-8 ③
設AB的中點M（x，y），可根據中點坐標公式表示為：x=
y= 分別將②，③代入，可得：x=-2 y=b-4
由條件①：b＜2，可得：y=b-4＜2-4＜-2
∴M點（即動弦AB中點）的軌跡方程時：x=-2這條直線位于y=-2之下的部分，
即軌跡方程x+2=0（y＜-2）
故答案為：x+2=0（y＜-2）
點評：本題主要考查了直線與拋物線的位置關系，求軌跡方程問題等．一般是把直線方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理求得問題的解決的途徑．