Question

圓心在拋物線x²=2y上，與直線2x+2y+3=0相切的圓中，求面積最小的圓的方程．

Answer 1

分析：由題意，設(shè)圓心為(a，

1

2

a2)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式將半徑r表示為關(guān)于a的函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)算出當(dāng)a=-1時(shí)半徑r的最小值等于

2

2

，由此即可得到所求面積最小的圓的方程．

解答：解：∵圓心在拋物線x²=2y上，∴可設(shè)圓心為(a，

1

2

a2)，
又∵直線2x+2y+3=0與圓相切，
∴圓心到直線2x+2y+3=0的距離等于半徑r，
即r=

|2a+a2+3|

22+22

=

|a2+2a+3|

2 2

=

|(a+1)2+2|

2 2

≥

2

2 2

=

2

2

，
可得當(dāng)a=-1時(shí)，半徑r最小，
∴所有的圓中，面積最小圓的半徑r=

2

2

，此時(shí)圓的圓心坐標(biāo)為(-1，

1

2

)．
因此，所求圓的方程為(x+1)2+(y-

1

2

)2=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出圓心在拋物線上的圓，求當(dāng)圓與定直線相切時(shí)圓的方程．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與的位置關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)，屬于中檔題．