Question

已知圓N：（x+2）²+y²=8和拋物線C：y²=2x，圓N的切線l與拋物線C交于不同的兩點A，B．
（I）當直線Z酌斜率為1時，求線段AB的長；
（II）設點M和點N關于直線y=x對稱，問是否存在直線l，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圓N：（x+2）²+y²=8，知圓心N為（-2，0），半徑r=2，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設l的方程為y=x+m，由直線l是圓N的切線，知，解得直線l的方程為y=x-2，由此能求出弦長|AB|．
（2）設直線l的方程為y=kx+m，由直線l是圓N的切線，得，解得此時直線l的方程為y=-x+2；當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=2-2，則得不成立．綜上所述，存在滿足條件的直線l，其方程為y=-x+2．
解答：解：（1）∵圓N：（x+2）²+y²=8，
∴圓心N為（-2，0），半徑r=2，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當直線的斜率為1時，設l的方程為y=x+m，即x-y+m=0，
∵直線l是圓N的切線，∴，
解得m=-2，或m=6（舍去）
此時直線l的方程為y=x-2，
由，消去x得y²-2y-4=0，
∴△=（-2）²+16=20＞0，
y₁+y₂=2，y₁•y₂=4，
，
∴弦長|AB|=．
（2）（i）設直線l的方程為y=kx+m，即kx-y+m=0（k≠0），
∵直線l是圓N的切線，∴，
得m²-4k²-4mk-8=0，①
由，消去x得ky²-2y+2m=0，
∴△=4-4k×2m＞0，即km＜且k≠0，
，，
∵點M與點N關于直線y=x對稱，∴N（0，-2），
∴，，
∵，∴x₁x₂+（y₁+2）（y₂+2）=0，
將A，B在直線y=kx+m上代入并化簡，得
，
代入，，
得，
化簡，得m²+4k²+2mk+4k=0，②
①+②得2m²-2mk+4k-8=0，
即（m-2）（m-k+2）=0，
解得m=2，或m=k-2．
當m=2時，代入①，解得k=-1，滿足條件，且k≠0，
此時直線l的方程為y=-x+2．
當m=k-2時，代入①整理，得7k²-4k+4=0，無解．
（ii）當直線l的斜率不存在時，
因為直線l是圓N的切線，所以l的方程為x=2-2．
則得，y₁+y₂=0，
，
即，
由①得：
=x₁x₂+y₁y₂+2（y₁+y₂）+4
=20-12≠0，
當直線l的斜率不存在時，不成立．
綜上所述，存在滿足條件的直線l，其方程為y=-x+2．
點評：本題考查線段長的求法，探索直線是否存在，具體涉及到圓的簡單性質、拋物線的性質及其應用、直線與圓錐曲線的位置關系的應用．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．