Question

已知圓N：（x+2）²+y²=8和拋物線C：y²=2x，圓的切線l與拋物線C交于不同的兩點A，B，
（1）當直線l的斜率為1時，求線段AB的長；
（2）設點M和點N關于直線y=x對稱，問是否存在直線l使得？若存在⊥，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）圓N的圓心N為（-2，0），半徑，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設l的方程，利用直線l是圓N的切線，求得m的值，從而可得直線l的方程，與拋物線方程聯立，利用韋達定理，即可計算弦長|AB|；
（2）設直線l的方程，利用直線l是圓N的切線，可得直線l的方程，與拋物線方程聯立，利用，可得m的值，從而可得直線l的方程；當直線l的斜率不存在時不成立．
解答：解：因為圓N：（x+2）²+y²=8，所以圓心N為（-2，0），半徑，…（1分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（1）當直線l的斜率為1時，設l的方程為y=x+m即x-y+m=0
因為直線l是圓N的切線，所以，解得m=-2或m=6（舍），此時直線l的方程為y=x-2，…（3分）
由消去x得y²-2y-4=0，
所以△＞0，y₁+y₂=2，y₁y₂=4，…（4分）
所以
所以弦長…（6分）
（2）設直線l的方程為y=kx+m即kx-y+m=0（k≠0）
因為直線l是圓N的切線，所以，得m²-4k²-4mk-8=0…①…（8分）
由消去x得 ky²-2y+2m=0，
所以△=4-4k×2m＞0即且k≠0，，．
因為點M和點N關于直線y=x對稱，所以點M為（0，-2）
所以，，
因為，所以=x₁x₂+（y₁+2）（y₂+2）=0…（10分）
將A，B在直線y=kx+m上代入化簡得
代入，得
化簡得 m²+4k²+2mk+4k=0…②
①+②得 2m²-2mk+4k-8=0，即（m-2）（m-k+2）=0，解得m=2或m=k-2
當m=2時，代入①解得k=-1，滿足條件且k≠0，此時直線l的方程為y=-x+2；
當m=k-2時，代入①整理得 7k²-4k+4=0，無解．…（12分）
當直線l的斜率不存在時，因為直線l是圓N的切線，所以l的方程為，
則得，y₁+y₂=0，即
由①得：=x₁x₂+（y₁+2）（y₂+2）
=
當直線l的斜率不存在時不成立．
綜上所述，存在滿足條件的直線l，其方程為y=-x+2…（14分）
另解：
（2）設直線l的方程為x=my+a即x-my-a=0（m必存在）
因為直線l是圓N的切線，所以，得a²+4a-8m²-4=0…①…（8分）
由消去x得 y²-2my-2a=0，
所以△=4m²+8a＞0即m²+2a＞0，y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2a．…（10分）
因為點M和點N關于直線y=x對稱，所以點M為（0，-2）
所以，，
因為，所以=x₁x₂+（y₁+2）（y₂+2）=0
將A，B在直線x=my+a上代入化簡得…（12分）
代入y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2a得（1+m²）（-2a）+（am+2）（2m）+a²+4=0
化簡得 a-2a+4m+4=0…②
①+②得 2a²+2a-8m²+4m=0，即（a+2m）（a-2m+1）=0，解得a=-2m或a=2m-1
當a=-2m時，代入①解得m=-1，a=2，滿足條件m²+2a＞0；
當a=2m-1時，代入①整理得 4m²-4m+7=0，無解．
綜上所述，存在滿足條件的直線l，其方程為y=-x+2…（14分）
點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查弦長的計算，考查韋達定理的運用，解題的關鍵是聯立方程，正確運用韋達定理．