Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點M、N分別為線段A₁B、A₁C₁的中點，平面A₁BC⊥側面A₁ABB₁
（1）求證：MN∥平面BCC₁B₁；
（2）證明：BC⊥平面AA₁B₁B．

Answer 1

解：（1）連BC₁，在△A₁BC₁中，M、N分別為線段A₁B、A₁C₁的中點，
∴MN是△A₁BC₁的中位線，可得MN∥BC₁，
∵BC₁?平面BB₁CC₁，MN?平面BB₁CC₁，
∴MN∥平面BCC₁B₁
（2）∵ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
∴BB₁⊥面ABC，結合BB₁?面A₁B₁BA，可得面A₁B₁BA⊥面ABC
取平面AA₁B₁B內一點P，作PR⊥AB于R，PQ⊥A₁B于Q．
∵PR?面ABB₁A₁，平面A₁BC⊥面A₁ABB₁且平面A₁BC∩面A₁ABB₁=AB
∴PR⊥面ABC，結合BC?平面ABC，可得PR⊥BC
再由平面A₁BC⊥側面A₁ABB₁，同理可得：PQ⊥BC
∵PR、PQ是平面AA₁B₁B內的相交直線，
∴BC⊥平面AA₁B₁B．
分析：（1）連BC₁，在△A₁BC₁中利用中位線定理，證出得MN∥BC₁，結合線面平行的判定定理可得MN∥平面BCC₁B₁；
（2）根據直三棱柱的性質，可得面A₁B₁BA⊥面ABC．取平面AA₁B₁B內一點P，作PR⊥AB于R，PQ⊥A₁B于Q，利用面面垂直的性質定理，可證出PR⊥BC且PQ⊥BC，結合線面垂直判定定理可得BC⊥平面AA₁B₁B．
點評：本題給出特殊的直三棱柱，求證線面平行和線面垂直，著重考查了空間線面平行、垂直和面面垂直的性質與判定定理等知識，屬于基礎題．