Question

已知2f（x）+f（

1

x

）=-

3

x

（x≠0），則下列說法正確的為（　　）

A．f（x）為奇函數且在（0，+∞）上為增函數

B．f（x）為奇函數且在（0，+∞）上為減函數

C．f（x）為偶函數且在（0，+∞）上為增函數

D．f（x）為偶函數且在（0，+∞）上為減函數

Answer 1

分析：通過函數的關系求出函數的解析式，判斷函數的奇偶性，判斷單調區間即可得到選項．

解答：解：因為2f（x）+f（

1

x

）=-

3

x

（x≠0），…①
所以2f（

1

x

）+f（x）=-3x（x≠0），…②，
解①②得f（x）=x-

2

x

，函數滿足f（-x）=-f（x），所以函數是奇函數．
又可判斷出g（x）=-

2

x

在（0，+∞）上為增函數．所以函數f（x）在（0，+∞）上為增函數．
故選A．

點評：本題考查函數的解析式的求法，函數的奇偶性與函數的單調性的綜合應用，考查計算能力．