Question

已知2f（x）+f（）=-（x≠0），則下列說法正確的是（ ）
A．f（x）為奇函數(shù)且在（-∞，0）上為增函數(shù)
B．f（x）為奇函數(shù)且在（-∞，0）上為減函數(shù)
C．f（x）為偶函數(shù)且在（-∞，0）上為增函數(shù)
D．f（x）為偶函數(shù)且在（-∞，0）上為減函數(shù)

Answer 1

【答案】分析：使用方程組法，可以求出函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，判斷出函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得答案．
解答：解：∵2f（x）+f（）=-…①
∴2f（）+f（x）=-3x…②
①×2-②得
3f（x）=+3x
∴f（x）=+x
易得在x≠0時(shí)，f（-x）=-f（x）恒成立，故函數(shù)為奇函數(shù)
又∵在（-∞，0）上y=為增函數(shù)，y=x也為增函數(shù)
∴f（x）=+x在（-∞，0）上為增函數(shù)
故選A
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)解析的求法，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，其中利用方程組法求出函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵．