Question

設

a

=(2，6，-3)，則與

a

平行的單位向量的坐標為

 

，同時垂直于

a

=(2，2，1)，

b

=(4，5，3)的單位向量

e

=

 

．

Answer 1

分析：設出滿足條件的向量的坐標，然后根據兩個向量平行，則存在實數使

u

=μ

a

，兩個向量垂直則向量的數量積為0，單位向量的模為1，構造方程（組），解方程（組）即可求出滿足條件的向量的坐標．

解答：解：①設與

a

平行的單位向量的坐標為

u

則

u

=μ

a

=（2μ，6μ，-3μ）
且|

u

|=1=

(2μ)2+(6μ)3+(-3μ)2

解得μ=±

1

7

∴

u

=(

2

7

，

6

7

，-

3

7

)或

u

=(-

2

7

，-

6

7

，

3

7

)
②同時垂直于

a

=(2，2，1)，

b

=(4，5，3)的單位向量

e

=（x，y，z）
則

e • a =0 e • b =0 →e|=1

即

2x+2y+z=0 4x+5y+3z=0 x2+y2+z2=1

解得：

x= 1 3 y=- 2 3 z= 2 3

或

x=- 1 3 y= 2 3 z=- 2 3

∴

e

=(

1

3

，-

2

3

，

2

3

)或

e

=(-

1

3

，

2

3

，-

2

3

)
故答案為：(

2

7

，

6

7

，-

3

7

)或(-

2

7

，-

6

7

，

3

7

)；(

1

3

，-

2

3

，

2

3

)或(-

1

3

，

2

3

，-

2

3

)

點評：本題考查的知識點是向量語文表述線線的垂直、平行關系，其中根據兩個向量平行，則存在實數使

u

=μ

a

，兩個向量垂直則向量的數量積為0，單位向量的模為1，構造方程（組），是解答本題的關鍵．