Question

已知拋物線y²=4x的焦點為F₂，點F₁與F₂關于坐標原點對稱，直線m垂直于x軸（垂足為T），與拋物線交于不同的兩點P、Q且．
（I）求點T的橫坐標x；
（II）若以F₁，F₂為焦點的橢圓C過點．
①求橢圓C的標準方程；
②過點F₂作直線l與橢圓C交于A，B兩點，設，若的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意得到F₁和F₂的坐標，設出P，Q的坐標，然后直接利用進行求解；
（Ⅱ）①設出橢圓標準方程，利用橢圓過點，結合a²=b²+1 即可求得a²，b²的值，則橢圓方程可求；
②當直線斜率不存在時，直接求解A，B的坐標得到的值，當直線斜率存在時，設出直線方程，和橢圓方程聯立后，利用，消掉點的坐標得到λ與k的關系，根據λ的范圍求k的范圍，然后把轉化為含有k的函數式，最后利用基本不等式求出的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）如圖，

由題意得F₂（1，0），F₁（-1，0），設P（x，y），則Q（x，-y），
則，．
由，
得，即  ①
又P（x，y）在拋物線上，則  ②
聯立①、②得，，解得：x=2．
所以點T的橫坐標x=2．
（Ⅱ）（ⅰ）設橢圓的半焦距為c，由題意得c=1，
設橢圓C的標準方程為，
因橢圓C過點，
則  ③
又a²=b²+1  ④
將④代入③，解得b²=1或（舍去）
所以a²=b²+1=2．
故橢圓C的標準方程為．
（ⅱ）1）當直線l的斜率不存在時，即λ=-1時，，，
又T（2，0），所以；
2）當直線l的斜率存在時，即λ∈[-2，-1）時，設直線l的方程為y=k（x-1）．
由，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），顯然y₁≠0，y₂≠0，則由根與系數的關系，
可得：，．
  ⑤
  ⑥
因為，所以，且λ＜0．
將⑤式平方除以⑥式得：
由λ∈[-2，-1），得，即．
故，解得．
因為，所以，
又，
故
=．
令，因為，所以，即，
所以．
所以
綜上所述：．
點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了平面向量數量積的運算，考查了分類討論的數學解題思想，訓練了利用基本不等式求最值，考查了學生的計算能力，是難度較大的題目．