Question

【題目】生物學家預言，21世紀將是細菌發電造福人類的時代。說起細菌發電，可以追溯到1910年，英國植物學家利用鉑作為電極放進大腸桿菌的培養液里，成功地制造出世界上第一個細菌電池。然而各種細菌都需在最適生長溫度的范圍內生長。當外界溫度明顯高于最適生長溫度，細菌被殺死；如果在低于細菌的最低生長溫度時，細菌代謝活動受抑制。為了研究某種細菌繁殖的個數是否與在一定范圍內的溫度有關，現收集了該種細菌的6組觀測數據如下表：

經計算得：，，線性回歸模型的殘差平方和．其中分別為觀測數據中的溫度與繁殖數，.

參考數據：，，

（Ⅰ）求關于的線性回歸方程（精確到0.1）；

（Ⅱ）若用非線性回歸模型求得關于回歸方程為，且非線性回歸模型的殘差平方和．

（ⅰ）用相關指數說明哪種模型的擬合效果更好；

（ⅱ）用擬合效果好的模型預測溫度為34℃時該種細菌的繁殖數（結果取整數）.

附：一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計為，；

相關指數

Answer 1

【答案】(1);(2) （ⅰ）見解析; （ⅱ）見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）由題中所給數據和公式分別求得，即可求得線性回歸方程。

（Ⅱ）由（1）中線性回歸方程對應的相關指數，和非線性回歸模型對應的相關指數，比較大小可得，所以回歸方程比線性回歸方程擬合效果更好。把溫度代入指數回歸方程，可得該種細菌的繁殖數估計為128個。

詳解：（Ⅰ）由題意得：，，

，

所以關于的線性回歸方程為.

（Ⅱ）（ⅰ）線性回歸方程對應的相關指數為

非線性回歸模型對應的相關指數為

因為，所以

所以回歸方程比線性回歸方程擬合效果更好

（ⅱ）由（ⅰ）得當溫度時，

即當溫度時，該種細菌的繁殖數估計為128個.