Question

定義在D上的函數f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數M，都有f（x）≥M成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的下界．已知函數f（x）=（x²-3x+3）•e^x，其定義域為[-2，t]（t＞-2），設f（-2）=m，f（t）=n．
（1）試確定t的取值范圍，使得函數f（x）在[-2，t]上為單調遞增函數；
（2）試判斷m，n的大小，并說明理由；并判斷函數f（x）在定義域上是否為有界函數，請說明理由；
（3）求證：對于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t）滿足=（t-1）²，并確定這樣的x₀的個數．

Answer 1

解：（1）f′（x）=（x²-3x+3）•e^x+（2x-3）•e^x=x（x-1）•e^x．
由f′（x）＞0?x＞1或x＜0；由f′（x）＜0?0＜x＜1，
所以f（x）在（-∞，0]，[1，+∞）上單調遞增，在[0，1]上單調遞減，
要使f（x）在[-2，t]上為單調遞增函數，則-2＜t≤0
（2）n＞m．
因為f（x）在（-∞，0]，[1，+∞）上單調遞增，在[0，1]上單調遞減，
所以f（x）在x=1處取極小值e．又f（-2）=＜e，
所以f（x）在[-2，+∞）上的最小值為f（-2），從而當t＞-2時，f（-2）＜f（t），
即m＜n．
由上知，因為f（x）在（-∝，0）上遞增，且恒大于0，f（x）在（0，+∞）的最小值為e，
所以函數f（x）在（-∞，+∞）上是有界函數，M=0
（3）因為=x²-x₀，所以=（t-1）²，即為x²-x₀=（t-1）²．
令g（x）=x²-x-（t-1）²，從而問題轉化為證明方程g（x）=x²-x-（t-1）²=0
在（-2，t）上有解，并討論解的個數．
因為g（-2）=6-（t-1）²=-（t+2）（t-4），g（t）=t（t-1）-（t-1）²=（t+2）（t-1），
所以①當t＞4或-2＜t＜1時，g（-2）•g（t）＜0，所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解；
②當1＜t＜4時，g（-2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=-（t-1）²＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有兩解；③當t=1時，g（x）=x²-x=0?x=0或x=1，
所以g（x）=0在（-2，t）上有且只有一解；
④當t=4時，g（x）=x²-x-6=0?x=-2或x=3，
所以g（x）=0在（-2，4）上有且只有一解
綜上所述，對于任意t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足=（t-1）²，
且當t≥4或-2＜t≤1時，有唯一的x₀符合題意；
當1＜t＜4時，有兩個x₀符合題意．
分析：（1）對函數進行求導，令導函數大于0和令導函數小于0，求出f（x）的單調區間，進而求出t的取值范圍；
（2）首先求出f（x）在x=1處取極小值e，然后得出f（-2）＜e，進而可知f（-2）＜f（t）；
（3）先將x₀代入f'（x）求出=x²-x₀，然后轉化成方程x²-x-（t-1）²=0在（-2，t）上有解的問題，分類討論確定x₀的個數．
點評：本題主要考查情境題的解法，在解決中要通過給出的條件轉化為已有的知識和方法去解決，本題主要體現了定義法，恒成立和最值等問題，綜合性強，要求學生在學習中要有恒心和毅力．