Question

已知函數f（x）=

1

3

x3+bx2+cx+d的圖象過點（0，3），且在（-∞，-1）和（3，+∞）上為增函數，在（-1，3）上為減函數．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在R上的極值．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）在（-∞，-1）和（3，+∞）上為增函數，在（-1，3）上為減函數，說明x=-1，x=3是f'（x）=0的兩個根，求導后解方程即可；
（2）利用導數求極值，先求函數的導函數，令導函數等于0，解出x的值，為函數的極值點，由已知可得x=-1是f（x）的極大值點，x=3是f（x）的極小值點，然后把極值點代入原函數，求出函數值即可．

解答：解：（1）∵f（x）的圖象過點（0，3），
∴f（0）=d=3
∴f(x)=

1

3

x3+bx2+cx+3，
∴f'（x）=x²+2bx+c
又由已知得x=-1，x=3是f'（x）=0的兩個根，
∴

-1+3=-2b -1×3=c

∴

b=-1 c=-3

故f(x)=

1

3

x3-x2-3x+3…（8分）
（2）由已知可得x=-1是f（x）的極大值點，x=3是f（x）的極小值點
∴f（x）_極大值=f(-1)=

14

3

f（x）_極小值=f（3）=-6…（12分）

點評：本題主要考查了應用導數求函數的極值、導數在函數中的應用，極值的意義，解題時要透徹理解函數與其導函數的關系，熟練運用消元化簡的技巧提高解題效率