Question

已知函數(shù)，在x=1處取得極值為2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，2m+1）上為增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若直線l與圖象相切于點P（x，y），求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先由已知函數(shù)求其導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)函數(shù)f（x）在x=1處取得極值2，列出關(guān)于a，b的方程即可求得函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）先由f′（x）＞0，得f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，1）．再根據(jù)函數(shù)f（x）在（m，2m+1）上單調(diào)遞增，列出關(guān)于m的不等關(guān)系解之即得；
（Ⅲ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和幾何意義直線l的斜率的表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的最值的求法即可求得直線l的斜率k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）已知函數(shù)，∴．（2分）
又函數(shù)f（x）在x=1處取得極值2，
∴即∴．（4分）
（Ⅱ）∵．
由f′（x）＞0，得4-4x²＞0，即-1＜x＜1，
所以的單調(diào)增區(qū)間為（-1，1）．（6分）
因函數(shù)f（x）在（m，2m+1）上單調(diào)遞增，則有解得-1＜m≤0，
即m∈（-1，0]時，函數(shù)f（x）在（m，2m+1）上為增函數(shù)．（9分）
（Ⅲ）∵，
∴直線l的斜率為（11分）
令，則直線l的斜率k=4（2t²-t）（t∈（0，1）
∴，即直線l的斜率k的取值范圍是（14分）
[或者由k=f（x）轉(zhuǎn)化為關(guān)于x²的方程，根據(jù)該方程有非負(fù)根求解]．
點評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)解析式的求解及常用方法、直線的斜率等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．