Question

（1）如圖，從相距165m的A、B兩觀察站測C、D兩個目標的視角都是30°，同時知道A在C的正南、B在D的正東，求C、D兩個目標間的距離．
（2）臺灣是祖國不可分割的一部分，祖國的統一是兩岸人民共同的愿望，在臺灣海峽各自的海域內，當大陸船只與臺灣船只相距最近時，兩船均相互鳴笛問好，一天，海面上離臺灣船只A的正北方向100海里處有一大陸船只B正以每小時20海里的速度沿北偏西60度角的方向行駛，而臺灣船只A以每小時15海里的速度向正北方向行駛，若兩船同時出發，問幾小時后，兩船鳴笛問好？

Answer 1

分析：（1）確定A、B、C、D共圓，可得∠ACD=∠ABD，利用正弦定理，即可求得結論；
（2）構造三角形CBD，利用余弦定理，結合配方法，即可得到結論．

解答：解：（1）由∠DAC=∠DBC=30°，得A、B、C、D共圓，∴∠ACD=∠ABD．
∵

CD

sin∠DAC

=

AD

sin∠ACD

，

AD

sin∠ABD

=

AB

sin∠ADB

∴

CD

sin∠DAC

=

AB

sin∠ADB

∵∠ADB=60°，∴CD=

165•sin30°

sin60°

=55

3

米；
（2）設x小時后，B船到C處，A傳到D處，BC=20x，BD=100-15x＞0，∠CBD=120°，

由余弦定理，可得CD²=400x²+（100-15x）²-2•20x•（100-15x）cos120°
=325（x-

20

13

）²+10000-

10000

13

（0＜x＜

20

3

）
所以，當x=

20

13

時，兩船鳴笛問好．

點評：本題考查正弦定理、余弦定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．