Question

如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼A出發沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上．
（1）求漁船甲的速度；
（2）求sinα的值．

Answer 1

分析：（1）由題意推出∠BAC=120°，利用余弦定理求出BC=28，然后推出漁船甲的速度；
（2）方法一：在△ABC中，直接利用正弦定理求出sinα．
方法二：在△ABC中，利用余弦定理求出cosα，然后轉化為sinα．

解答：解：（1）依題意，∠BAC=120°，AB=12，AC=10×2=20，∠BCA=α．（2分）
在△ABC中，由余弦定理，得BC²=AB²+AC²-2AB×AC×cos∠BAC（4分）
=12²+20²-2×12×20×cos120°=784．
解得BC=28．（6分）
所以漁船甲的速度為

BC

2

=14海里/小時．
答：漁船甲的速度為14海里/小時．（7分）
（2）方法1：在△ABC中，因為AB=12，∠BAC=120°，BC=28，∠BCA=α，
由正弦定理，得

AB

sinα

=

BC

sin120°

．（9分）
即sinα=

ABsin120°

BC

=

12× 3 2

28

=

3 3

14

．
答：sinα的值為

3 3

14

．（12分）
方法2：在△ABC中，因為AB=12，AC=20，BC=28，∠BCA=α，
由余弦定理，得cosα=

AC2+BC2-AB2

2AC×BC

．（9分）
即cosα=

202+282-122

2×20×28

=

13

14

．
因為α為銳角，所以sinα=

1-cos2α

=

1-( 13 14 )2

=

3 3

14

．
答：sinα的值為

3 3

14

．（12分）

點評：本題是中檔題，考查三角函數在實際問題中的應用，正弦定理、余弦定理的應用，考查計算能力．