Question

（本小題滿分14分）如圖，正方形所在的平面與平面垂直，是和的交點，，且．

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ)求直線與平面所成的角的大小；

(Ⅲ)求二面角的大小．

Answer 1

解法一：(Ⅰ)∵四邊形是正方形，

．   ………………………1分

∵平面平面，    

又∵，

平面．……………………3分

平面，

． …………………………4分

平面．    ………………5分

 (Ⅱ)連結，

平面，

是直線與平面所成的角．           ……………………………5分

設，則

，，              ……………………………………………6分

，

．           

即直線與平面所成的角為．   …………………………………………8分

 (Ⅲ)過作于，連結．    ………………………………………9分

平面，

．

平面．

是二面角的平面角． ……10分

∵平面平面，平面．

．

在中， ，有．

由(Ⅱ)所設可得

，，

．             …………………………………………12分

．

．

∴二面角等于．           ……………………………………………14分

解法二: ∵四邊形是正方形 ，

，

∵平面平面，

平面，                      ………………………………………2分

∴可以以點為原點，以過點平行于的直線為軸，分別以直線和為軸和軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

設，則

，

是正方形的對角線的交點，

．…………………………………4分

 (Ⅰ) ，，，

，                 ………………………………………6分

平面．                      …………………………………7分

(Ⅱ) 平面，

為平面的一個法向量，         ……………………………………………8分

，

．        ……………………………………………9分

．

∴直線與平面所成的角為．      ………………………………………10分

 (Ⅲ) 設平面的法向量為，則且，

且．

      即

取，則， 則．      ……………………………………………12分

又∵為平面的一個法向量，且，

，

設二面角的平面角為，則，

．

∴二面角等于．           ……………………………………………14分