Question

已知關于t的方程t²-2t+a=0的一個根為1+

3

i．(a∈R)
（1）求方程的另一個根及實數a的值；
（2）是否存在實數m，使對x∈R時，不等式log_a（x²+a）≥m²-2km+2k對k∈[-1，2]恒成立？若存在，試求出實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知另一根為1-

3

i，由此能求出a=(1+

3

i)(1-

3

i)=4．
（Ⅱ）設存在實數m滿足條件，不等式為m²-2km+2k≤log₄（x²+4），由log₄（x²+4）的最小值為1，知m²-2km+2k≤1對k∈[-1，2]恒成立，由此能夠推導出存在m=1滿足條件．

解答：解：（Ⅰ）由題設知一根為1-

3

i，
∴a=(1+

3

i)(1-

3

i)=4．
（Ⅱ）設存在實數m滿足條件，不等式為m²-2km+2k≤log₄（x²+4），
∵log₄（x²+4）的最小值為1，
∴m²-2km+2k≤1對k∈[-1，2]恒成立，
即2（1-m）k+m²-1≤0對k∈[-1，2]恒成立，
設g（k）=2（1-m）k+m²-1
則

g(-1)=m2+2m-3≤0 g(2)=m2-4m+3≤0

解得

-3≤m≤1 1≤m≤3

∴m=1，
因此存在m=1滿足條件．

點評：本題考查函數的恒成立問題，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．