Question

已知橢圓的左、右焦點分別為,離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設直線與橢圓交于兩點.若原點在以線段為直徑的圓內,
求實數的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ) 橢圓的方程為
(Ⅱ)

(I)因為b=1,所以根據離心率可建立關于m的方程，求出m值，進而確定橢圓標準方程.
依題意,可知,且,
所以,
所以,即橢圓的方程為.  ………………5分
（II）解本小題的突破口是設,則原點在以線段為直徑的圓內
等價于說(三點不共線)，也就等價于說,即.然后再把直線方程與橢圓方程聯立消去y，得到關于x的一元二次方程，借助韋達定理及判別式來解決即可.
設,則原點在以線段為直徑的圓內
等價于說(三點不共線)
也就等價于說,即…① ……………7分
聯立,得,
所以,即……②
且………………………10分
于是
代入①式得,,即適合②式……………12分
又,所以解得即求. …………………13分