Question

已知：四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=1．
（Ⅰ） 求證：BC∥平面PAD；
（Ⅱ） 若E、F分別為PB、AD的中點，求證：EF⊥BC；
（Ⅲ） 求二面角C-PA-D的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明BC∥AD，利用線面平行的判定，證明BC∥平面PAD；
（Ⅱ）利用線面垂直的判定證明BC⊥面EFG，即可證明EF⊥BC；
（Ⅲ）設PA的中點為N，連結DN，NC，證明∠CND是所求二面角的平面角，從而可求二面角C-PA-D的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：因為ABCD是正方形，所以BC∥AD．
因為AD?平面PAD，BC?平面PAD，
所以BC∥平面PAD．…（4分）
（Ⅱ）證明：因為PD⊥底面ABCD，且ABCD是正方形，所以PC⊥BC．
設BC的中點為G，連結EG，FG，則EG∥PC，FG∥DC．
所以BC⊥EG，BC⊥FG．…（6分）
因為EG∩FG=G，所以BC⊥面EFG．
因為EF?面EFG，所以EF⊥BC．…（8分）
（Ⅲ）解：設PA的中點為N，連結DN，NC，
因為PD=AD，N為中點，所以DN⊥PA．
又△PAC中，PC=AC，N為中點，所以NC⊥PA．
所以∠CND是所求二面角的平面角．…（10分）
依條件，有CD⊥PD，CD⊥AD，
因為PD∩AD=D，所以CD⊥面PAD．
因為DN?面PAD，所以CD⊥DN．
在Rt△CND中，DN=

2

2

，NC=

6

2

．
于是cos∠CND=

ND

NC

=

3

3

，即所求二面角的余弦值是

3

3

．…（13分）

點評：本題考查線面平行，考查線面垂直，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．