Question

已知：四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，且PA=AB=2，PC與底面ABCD所成角為45⁰，PD的中點為E，F為AB上的動點．
（1）求三棱錐E-FCD的體積；
（2）當點F為AB中點時，試判斷AE與平面PCF的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據直線與平面所成角的定義，先在Rt△PAC中計算出PA=AC=2，從而得到底面菱形ABCD的對角線AC與邊長相等，得到底面的面積為

3

．再根據F在菱形ABCD的一條邊上，可得△FCD面積等于菱形ABCD面積的一半，又因為PD的中點為E，所以E到平面FCD的距離等于P到平面FCD的距離即PA的一半，從而得到三棱錐E-FCD的體積等于三棱錐P-FCD的體積的一半，不難算出這個體積；
（2）取PC中點G，連接FG、EG，利用三角形中位線定理可以證明出四邊形AEGF是平行四邊形，從而AE∥BG，最后用直線與平面平行的判定定理得出AE與平面PCF平行的位置關系．

解答：解：（1）連AC，因為PA⊥平面ABCD，
∴∠PCA為PC與底面ABCD所成角，
即∠PCA=45°，∴PA=AC=2，AC=AB=BC=2，
∴S_△FCD=

1

2

×2×

3

=

3

．
因為E為PD的中點，
∴V_E-FCD=

1

2

VP-FCD
=

1

2

•

1

3

S△FCD•PA
=

1

6

•

3

•2
=

3

3

…（6分）
（2）當點F為AB中點時，AE∥平面PCF…（7分）
下面證明這一結論：
設PC的中點為G，連接FG，EG，
則EG∥CD，且EG=

1

2

CD．
又∵四邊形ABCD是菱形，點F為AB中點，
∴EG∥AF，且EG=AF，
∴四邊形AEGF為平行四邊形，
∴AE∥GF．  
又∵GF?平面PFC，AE?平面PFC，
∴AE∥平面PFC…（12分）

點評：本題綜合了直線與平面平行的判定、直線與平面垂直的性質和棱柱、棱錐、棱臺的體積等幾個知識點，考查了同學們對空間位置關系的認識，屬于中檔題．