Question

（本小題滿分14分）已知數(shù)列{}中，（n≥2，），

   （1）若，數(shù)列滿足（），求證數(shù)列{}是等差數(shù)列；

   （2）若，求數(shù)列{}中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，并說明理由；

   （3）（理做文不做）若，試證明：．

Answer 1

(Ⅰ)  見解析(Ⅱ) 見解析  （Ⅲ）見解析

解析:

（1），而，∴．

       ∴{}是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列．

   （2）依題意有，而，

        ∴.對于函數(shù)，在x＞3.5時(shí)，y＞0，，在（3.5，）

        上為減函數(shù).　故當(dāng)n＝4時(shí)，取最大值3. 而函數(shù)在x＜3.5時(shí)，y＜0，

       ，在（，3.5）上也為減函數(shù)．故當(dāng)n＝3時(shí)，取最小值，＝－1.

   （3）先用數(shù)學(xué)歸納法證明，再證明.  ①當(dāng)時(shí)，成立；

        ②假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即，當(dāng)時(shí)，

           故當(dāng)時(shí)也成立，

          綜合①②有，命題對任意時(shí)成立，即.

          （也可設(shè)（1≤≤2），則，

         故）.  下證：　

         .