Question

（2012•臨沂二模）已知函數f（x）=ax-

1

x

-（a+1）lnx（a＜1）．
（Ⅰ）討論f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若0＜a＜

1

e

，試證對區間[1，e]上的任意x₁、x₂，總有成立|f（x₁）-f（x₂）|＜

1

e

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，對a分類討論，利用導數的正負，即可求得f（x）的單調區間；
（Ⅱ）確定函數在區間[1，e]上的最值，化簡即可得到結論．

解答：（Ⅰ）解：f′（x）=

ax-a-1

x

，x＞0
∴當0＜a＜1時，令f′（x）＞0得x＞1+

1

a

，令f′（x）＜0得0＜x＜1+

1

a

，
此時f（x）的增區間為（1+

1

a

，+∞），減區間為（0，1+

1

a

）；
當a=0時，f′（x）=-

1

x

＜0，f（x）在定義域上遞減；
當a＜0時，令f′（x）＞0得0＜x＜1+

1

a

，令f′（x）＜0得x＞1+

1

a

，
此時f（x）的減區間為（1+

1

a

，+∞），增區間為（0，1+

1

a

）；
（Ⅱ）證明：由已知，a∈（0，1），由（Ⅰ）知，此時f（x）的減區間為（0，1+

1

a

），
又

1

a

∈（e，+∞），1+

1

a

＞e
∴f（x）在[1，e]上遞減，最大值為f（1）=a-

1

a

，最小值為f（e）=ae-

1

a

-a-1，
所以對任意x₁、x₂，總有|f（x₁）-f（x₂）|＜f（1）-f（e）=（2-e）a+1＜（2-e）•

1

e

+1=

2

e

即|f（x₁）-f（x₂）|＜

2

e

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，考查函數的最值，屬于中檔題．