Question

如圖，正四棱錐P-ABCD中，側棱PA與底面ABCD所成角的正切值為

6

2

．
（1）求側面PAD與底面ABCD所成二面角的大小；
（2）若E是PB中點，求異面直線PD與AE所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）連接AC、BD交于點O，連接PO，則PO⊥面ABCD，則∠PAO就是PA與底面ABCD所成的角，設AB=1，則可得則PO=AO•tan∠PAO
設F為AD中點，連FO、PF，易知OF⊥AD，PF⊥AD，所以∠PFO就是側面PAD與底面ABCD所成二面角的平面角，在Rt△POF中可求∠PFO
（2）容易證明EO

∥

.

1

2

PD．可得∠AEO就是異面直線PD與AE所成的角，在Rt△AOE中求解

解答：解：（1）連接AC、BD交于點O，連接PO，則PO⊥面ABCD，（1分）
∴∠PAO就是PA與底面ABCD所成的角，∴tan∠PAO=

6

2

．（2分）
設AB=1，則PO=AO•tan∠PAO=

2

2

×

6

2

=

3

2

．（3分）
設F為AD中點，連FO、PF，
易知OF⊥AD，PF⊥AD，所以∠PFO就是側面PAD與底面ABCD所成二面角的平面角．（4分）
在Rt△POF中，tan∠PFO=

PO

FO

=

3

2

/

1

2

=

3

，
∴∠PFO=60°，即側面PAD與底面ABCD所成二面角的大小為60°；（5分）
（2）連接EO，由于O為BD中點，E為PB中點，所以，EO

∥

.

1

2

PD．
∴∠AEO就是異面直線PD與AE所成的角．（6分）
在Rt△POD中，PD=

OD2+PO2

=

5

2

．∴EO=

5

4

．（7分）
由AO⊥BD，AO⊥PO可知AO⊥面PBD．所以，AO⊥EO（8分）
在Rt△AOE中，tan∠AEO=

AO

EO

=

2

2

/

5

4

=

2 10

5

，
即異面直線PD與AE所成角的正切值為

2 10

5

．（9分）

點評：本題主要考查了直線與平面所成角及二面角的平面角的求解，解決問題（1）的關鍵是要找到與已知平面垂直的直線，從而把線面角轉化為線線角，還要注意線面角的范圍：[0，

π

2

]；解決問題（2）的關鍵是要尋求與已知異面直線平行的直線，從而把異面直線所成的角轉化為相交直線所成的角，其范圍：（0，

π

，2

)