Question

如圖，正四棱錐P-ABCD中，PA=2，AB=1，M是側棱PC的中點，O為底面正方形的中心．
（1）求證：PA∥平面BDM；
（2）求二面角P-BC-A的余弦值．

Answer 1

分析：（1）連接MO，通過M是正四棱錐P-ABCD側棱PC的中點，O為底面正方形的中心，證明MO∥PA，然后證明PA∥平面BDM；
（2）取BC的中點E，連接PE，OE，說明二面角P-BC-A的平面角是∠PEO，利用題目條件，即可解三角形求出二面角P-BC-A的余弦值．

解答：解：（1）證明：連接MO，因為幾何體是正四棱錐P-ABCD，M是側棱PC的中點，O為底面正方形的中心．
所以MO∥PA，MO?平面BDM，PA?平面BDM，
∴PA∥平面BDM；

（2）取BC的中點E，連接PE，OE，因為幾何體是正四棱錐P-ABCD，O為底面正方形的中心，
∴PE⊥BC，OE⊥BC，∴二面角P-BC-A的平面角是∠PEO，
∵PA=2，AB=1，∴OE=

1

2

，PE=

22-( 1 2 )2

=

15

2

，
cos∠PEO=

OE

PE

=

1 2

15 2

=

15

15

．
二面角P-BC-A的余弦值為：

15

15

．

點評：本題考查直線與平面的平行，二面角的求法，考查空間想象能力，作圖能力以及計算能力，解題的關鍵是正確利用直線與平面平行的判定定理，準確找出二面角的平面角．