Question

設(shè)f(x)=4cos2x•cos(2x+

π

3

)-1．
（1）當(dāng)x∈[-

π

48

，

π

4

]時，求f（x）的值域；
（2）把f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位后所得圖象關(guān)于y軸對稱，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡f（x）的解析式為2cos（4x+

π

3

），通過x的范圍求出相位的范圍，由此求得f（x）的值域．
（2）先求出平移后函數(shù)due解析式，根據(jù)圖象關(guān)于直線x=0對稱，故有-4m+

π

3

=kπ，k∈Z，由此求得正數(shù)m的最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=4cos2x•（

1

2

cos2x-

3

2

sin2x）-1=2cos^₂2x-2

3

sin2x•cos2x-1
=cos4x-

3

sin4x=2cos（4x+

π

3

），（4分）
因為x∈[-

π

48

，

π

4

]
∴4x+

π

3

∈[

π

4

，

4π

3

]，
f（x）的最小值為-2，函數(shù)的最大值為：1．（6分）
∴f（x）的值域：[-2，1]．（7分）
（2）f（x）圖象向右平移m個單位后所得圖象對應(yīng)的解析式為
y=2cos[4（x-m）+

π

3

]=2cos（4x-4m+

π

3

），（9分）
其為偶函數(shù)，那么圖象關(guān)于直線x=0對稱，故有：-4m+

π

3

=kπ，k∈Z
∴m=

π

12

-

kπ

4

所以正數(shù)m的最小值為

π

12

．（12分）．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換，屬于中檔題．