Question

有四個關于三角函數的命題：
P₁：?x∈R，sinx+cosx=2；                        P₂：?x∈R，sin2x=sinx；
P3：?x∈[-

π

2

，

π

2

]，

1+cos2x 2

=cosx；    P₄：?x∈（0，π）sinx＞cosx．
其中真命題是（　�。�

A．P1，P4

B．P2，P3

C．P3，P4

D．P2，P4

Answer 1

因為sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），所以sinx+cosx的最大值為

2

，
可得不存在x∈R，使sinx+cosx=2成立，得命題P₁是假命題；
因為存在x=kπ（k∈Z），使sin2x=sinx成立，故命題P₂是真命題；
因為

1+cos2x

2

=cos²x，所以

1+cos2x 2

=|cosx|，結合x∈[-

π

2

，

π

2

]得cosx≥0
由此可得

1+cos2x 2

=cosx，得命題P₃是真命題；
因為當x=

π

4

時，sinx=cosx=

2

2

，不滿足sinx＞cosx，
所以存在x∈（0，π），使sinx＞cosx不成立，故命題P₄是假命題．
故選：B