Question

【題目】已知圓M的方程為，直線l的方程為，點P在直線l上，過點P作圓M的切線PA，PB，切點為A，B．

若，試求點P的坐標；

求四邊形PAMB面積的最小值及此時點P的坐標；

求證：經過A，P，M三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）四邊形PAMB面積的最小值為，P的坐標為；（3）見解析.

【解析】

設，連接MP，分析易得，即有，解可得m的值，即可得答案；

根據題意，分析易得，又由，當MP最小時，即直線MP與直線l垂直時，四邊形PAMB面積最小，設出P的坐標，則有，解可得n的值，進而分析MP的最小值，求出四邊形PAMB面積，即可得答案；

根據題意，分析可得：過A，P，M三點的圓為以MP為直徑的圓，設P的坐標為，用m表示過A，P，M三點的圓為，結合直線與圓位置關系，分析可得答案．

根據題意，點P在直線l上，

設，連接MP，

因為圓M的方程為，

所以圓心，半徑．

因為過點P作圓M的切線PA、PB，切點為A、B；

則有，，且，

易得≌，

又由，即，

則，

即有，

解可得：或，

即P的坐標為或；

根據題意，≌，則，

又由，

當MP最小時，即直線MP與直線l垂直時，四邊形PAMB面積最小，

設此時P的坐標為；有，解可得，

即P的坐標為；

此時，則四邊形PAMB面積的最小值為；

根據題意，PA是圓M的切線，則，則過A，P，M三點的圓為以MP為直徑的圓，

設P的坐標為，，

則以MP為直徑的圓為，

變形可得：，即；

則有，解可得：或；

則當、和、時，恒成立，

則經過A，P，M三點的圓必過定點，且定點的坐標為和