Question

19.如圖，平面PCBM⊥平面ABC，∠PCB=90°，PM∥BC，直線AM與直線PC所成的角為60°，又AC=1，BC=2PM=2，∠ACB=90°       

(Ⅰ)求證：；

(Ⅱ)求二面角的大小；

（Ⅲ）求多面體PMABC的體積.

Answer 1

本題主要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角、棱錐體積等有關(guān)知識，考查思維能力和空間想象能力、應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力、化歸轉(zhuǎn)化能力和推理運算能力。

解法一：

（Ⅰ）∵

∴，

又∵

∴

（Ⅱ）取的中點，則，連結(jié)，

∵

∴

∵，∴  ∴

作于，連結(jié)，則由三垂線定理知，，

從而為二面角的平面角

∵直線與直線所成的角為

∴

在中，由勾弦定理得

在中，

在中，

在中，

故二面角的平面角大小為

（Ⅲ）因多面體就是四棱錐

∴

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)，有

由直線與直線所成的角為，得

，即，解得

∴，設(shè)平面的一個法向量為，

則，取，得

取平面的法向量取為

則

故二面角的平面角大小為

（Ⅲ）同解法一