Question

如圖，平面PCBM⊥平面ABC，∠PCB=90°，PM∥BC，已知AC=PC=PM=1，BC=2，∠ACB=90°．
（1）求證：AC⊥BM；
（2）求證：平面ABM⊥平面ACM；
（3）求二面角M-AC-B的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由平面PCBN⊥平面ABC，AC⊥BC，知AC⊥平面PCBM，由此能夠證明AC⊥BM．
（2）取BC的中點N，則CN=1，連接AN，MN，則由已知，△CNB和△BNM均為等腰直角三角形，故∠CMN=∠BMN=45°，∠CMB=90°，∠CMN=∠BMN=45°，所以CM⊥BM，由此能夠證明平面ABM⊥平面ACM．
（3）由（1）知，AC⊥平面PCBM，又因為AC⊥CM，所以∠MCB為二面角M-AC-B的平面角，由此能夠求出二面角M-AC-B的大小．
解答：解：（1）∵平面PCBN⊥平面ABC，AC⊥BC，AC?平面ABC，
∴AC⊥平面PCBM，
又∵BM?平面PCBM，
∴AC⊥BM．
（2）取BC的中點N，則CN=1，
連接AN，MN，則由已知，△CNB和△BNM均為等腰直角三角形，
∴∠CMN=∠BMN=45°，
∴∠CMB=90°，
∴∠CMN=∠BMN=45°，
∴∠CMB=90°，
∴CM⊥BM，
由（1）AC⊥BM，∴BM⊥平面ACM，
又∵BM?平面ABM，∴平面ABM⊥平面ACM．
（3）由（1）知，AC⊥平面PCBM，
又∵CM?平面PCBM，∴AC⊥CM，
∴∠MCB為二面角M-AC-B的平面角，
∵∠MCB=45°，
∴二面角M-AC-B的大小為45°．
點評：本題考查直線與直線垂直的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的求法．解題時要認真審題，仔細解答．