Question

（本小題滿分12分）

已知橢圓C:的離心率為，A,B分別為橢圓的長軸和短軸的端點，M為AB的中點，O為坐標原點，且.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過的直線與橢圓交于P、Q兩點，求POQ的面積的最大時直線的方程。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當直線的方程為時，面積最大.

【解析】離心率為，列式，，M為AB的中點，O為坐標原點，且.三式求解；（Ⅱ）過的直線與橢圓交于P、Q兩點，求POQ的面積的最大，考查的是弦長公式，點到直線的距離，列出關于POQ的面積公式，均值定理求解。

解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為，則，解得，所以橢圓的方程為.                                             ----------4分                                                                 

（Ⅱ）方法一：設交點，，

當直線的斜率不存在時，直線的方程為，

則易得.                                                  --------------6分

當直線的斜率存在時，設其方程為（），聯立橢圓方程，得，兩個根為 

恒成立，，                ---------7分

則，

又原點到直線的距離=，                            --------------8分

所以

                                           --------------11分

所以，當直線的方程為時，面積最大.              --------------12分

方法二：設交點，，

當直線的斜率不存在時，直線的方程為，

則易得.                                                    ----------6分

當直線的斜率存在時，設其方程為（），聯立橢圓方程，得

，兩個根為，

恒成立，，                  -----------7分

                      ---------------8分

        =

                                             ---------11分

所以，當直線的方程為時，面積最大.                 -----------12分