Question

已知函數f（x）=1-

a

3x+1

是定義域為實數集的奇函數，
（1）求a的值；
（2）判斷函數f （x）的單調性并證明；
（3）當x∈[-1，2）時，求函數f （x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數的定義，即可求a的值；
（2）利用導數大于0，即可確定函數的單調性；
（3）利用f （x）是[-1，2）上的增函數，即可求函數f （x）的值域．

解答：解：（1）∵函數f （x）是奇函數，∴f （-x）=-f （x），即1-

a

3-x+1

=-1+

a

3x+1

，
∴2=

a

3x+1

+

a•3x

3x+1

，
∴

a•(3x+1)

3x+1

=2
∴a=2；
（2）f （x）是R上的增函數，證明如下：
∵a=2，∴f（x）=1-

2

3x+1

，∴f′（x）=

(2ln3)•3x

3x+1

＞0
∴f （x）是R上的增函數
（3）由（2）知f （x）是[-1，2）上的增函數，
∵f （-1）=-

1

2

，f （2）=

4

5

∴當x∈[-1，2）時，函數f （x）的值域是[-

1

2

，

4

5

）．

點評：本題考查函數的奇偶性，考查函數的單調性，考查函數的值域，屬于中檔題．