Question

過點（0，-1）的直線l與半圓C：x²+y²-4x+3=0（y≥0）有且只有一個交點，則直線l的斜率k的取值范圍為（　　）

• A．k=0或k=

  4

  3

• B．

  1

  3

  ≤k＜1
• C．k=

  4

  3

  或

  1

  3

  ≤k＜1
• D．k=

  4

  3

  或

  1

  3

  ≤k≤1

Answer 1

分析：通過圓的方程，求出圓心與半徑，結合圖形，根據有且只有一個交點，求出直線l的斜率k的取值范圍，利用圓心到直線的距離對于半徑求出切線的斜率，即可得到斜率k的取值范圍．

解答：解：由已知中可得圓x²+y²-4x+3=0（y≥0）的圓心坐標為M（2，0），半徑為1，
過點（0，-1）的直線l與半圓C：x²+y²-4x+3=0（y≥0）有且只有一個交點，夾在兩條紅線之間的斜率k的范圍，以及切線時直線的斜率．
（0，-1）與（3，0）連線的斜率為：

1

3

，
（0，-1）與（1，0）連線的斜率為：1，
紅線之間的直線的斜率范圍是

1

3

≤k＜1．
相切時l：y=kx+1，
圓心到直線的距離為：

|2k+1|

1+k2

=1，
解得k=

4

3

或k=0（舍去）
故選C．

點評：本題考查的知識點是直線與圓相交的性質，其中聯立直線方程，用△判斷方程根的個數，進而得到直線與圓交點的個數，是解答本題的關鍵．