Question

【題目】對于函數.

（1）當向下和向左各平移一個單位，得到函數，求函數的零點；

（2）對于常數，討論函數的單調性；

（3）當，若對于函數滿足恒成立，求實數取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）當，單調遞增；當，在上遞增，上遞減，上遞增；當，在遞增，遞減，遞增；（3）.

【解析】

（1）將，求得，利用圖象變換原則求得，分類討論去掉絕對值符號，求得函數的零點；

（2）將函數解析式中的絕對值符號去掉，得到分段函數，利用導數，分類討論求得函數的單調性；

（3）化簡函數解析式，將不等式轉化，找出不等式恒成立的關鍵條件，得到結果.

（1）因為，所以，

根據題意，可得，

令，即，

當時，原式化為，

解得或，

當時，原式化為，無解，

所以函數的零點為或；

（2），

當時，， ，

當時，， ，

所以當時，恒成立，在上單調遞增，

當時，令，解得或，

所以在和上單調遞增，

令，解得，所以所以在上單調遞減。，

當時，令，解得或，

所以在和上遞增，

令，解得，所以所以在上單調遞減，

綜上，當時，在上單調遞增；

當，在上遞增，上遞減，上遞增；

當時，在遞增，遞減，遞增；

（3）時，，

即為，

整理得，

化簡得

當時，原式可化為，顯然不成立，

當時，

分類討論，可求得和時都恒成立，

對于，要使式子成立，

即在時成立，

只要，

結合的條件，解得，

當時，上式對于時就不成立，所以不滿足條件，

綜上，所求實數的取值范圍是.