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已知雙曲線方程為，橢圓C以該雙曲線的焦點為頂點，頂點為焦點。

（1）當，時，求橢圓C的方程；

（2）在（1）的條件下，直線：與軸交于點P，與橢圓交與A，B兩點，若O為坐標原點，與面積之比為2：1，求直線的方程；

（3）若，橢圓C與直線：有公共點，求該橢圓的長軸長的最小值。

 

【答案】

 

解：（1）設雙曲線的焦點為，則橢圓C的方程為

    ，其中

    將代入，可得橢圓C的方程為

    ；

    （2）根據題意，設點A，B的坐標分別為，則，可

知。

    聯立橢圓和直線的方程，得

    ，消元得，可知

    ，，即異號，所以。

    代入上式，得

    消元，得。

    所以直線方程為

    （3）聯立橢圓和直線的方程，得方程組

    ，其中，

    消去，得到方程

    ，

    因為橢圓與直線有公共點，所以

    △，

    解得，所以，當且僅當時長軸長最短，是。

 

【解析】略

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•浦東新區二模）（1）設橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1與雙曲線C2：9x2-
9y2
8
=1有相同的焦點F1、F2，M是橢圓C1與雙曲線C2的公共點，且△MF1F2的周長為6，求橢圓C1的方程；
我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．
（2）如圖，已知“盾圓D”的方程為y2=
4x            (0≤x≤3)
-12(x-4)  (3＜x≤4)
．設“盾圓D”上的任意一點M到F（1，0）的距離為d1，M到直線l：x=3的距離為d2，求證：d1+d2為定值； 
（3）由拋物線弧E1：y2=4x（0≤x≤
2
3
）與第（1）小題橢圓弧E2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（
2
3
≤x≤a）所合成的封閉曲線為“盾圓E”．設過點F（1，0）的直線與“盾圓E”交于A、B兩點，|FA|=r1，|FB|=r2且∠AFx=α（0≤α≤π），試用cosα表示r1；并求
r1
r2
的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，橢圓的短軸端點與雙曲線
y2
2
-x2=1的焦點重合，過P（4，0）且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢C的方程；
（Ⅱ）求
OA
•
OB
的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（本小題滿分13分）

  如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的

  左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢

  圓的焦點，設為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點

  分別 為和

   （Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程； 

   （Ⅱ）設直線、的斜率分別為、，證明；

   （Ⅲ）是否存在常數，使得恒成立？

      若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

                                                             

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年上海市浦東新區高三4月高考預測（二模）理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（1）設橢圓：與雙曲線：有相同的焦點，是橢圓與雙曲線的公共點，且的周長為，求橢圓的方程；

我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”.

（2）如圖，已知“盾圓”的方程為.設“盾圓”上的任意一點到的距離為，到直線的距離為，求證：為定值；

 

（3）由拋物線弧：（）與第（1）小題橢圓弧：（）所合成的封閉曲線為“盾圓”.設過點的直線與“盾圓”交于兩點，，且（），試用表示；并求的取值范圍.

 

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（1）設橢圓C1：數學公式與雙曲線C2：數學公式有相同的焦點F1、F2，M是橢圓C1與雙曲線C2的公共點，且△MF1F2的周長為6，求橢圓C1的方程；
我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．
（2）如圖，已知“盾圓D”的方程為數學公式．設“盾圓D”上的任意一點M到F（1，0）的距離為d1，M到直線l：x=3的距離為d2，求證：d1+d2為定值；
（3）由拋物線弧E1：y2=4x（0數學公式）與第（1）小題橢圓弧E2：數學公式（數學公式）所合成的封閉曲線為“盾圓E”．設過點F（1，0）的直線與“盾圓E”交于A、B兩點，|FA|=r1，|FB|=r2且∠AFx=α（0≤α≤π），試用cosα表示r1；并求數學公式的取值范圍．

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