Question

已知正數數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a_n²=S_n+S_n-1（n≥2），a₁=1．
（I）求證：數列{a_n}為等差數列，并求出通項公式；
（II）設b_n=（1-a_n）²-a（1-a_n），若b_n+1＞b_n對任意n∈N^*恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由 a_n²=S_n+S_n-1（n≥2），可得an-12=sn-1+sn-2 （n≥3）．兩式相減可得 a_n -a_n-1=1，再由a₁=1，可得{a_n}的通項公式．
（II）根據{a_n}的通項公式化簡b_n和b_n+1，由題意可得b_n+1-b_n=2n+a-1＞0恒成立，故a＞1-2n恒成立，而1-2n的最大值為-1，從而求得實數a的取值范圍．

解答：解：（I）證明：∵a_n²=S_n+S_n-1（n≥2），∴an-12=sn-1+sn-2 （n≥3）．
兩式相減可得a_n² -an-12=S_n-s_n-2=a_n +a_n-1，∴a_n -a_n-1=1，
再由a₁=1，可得a_n=n．
（II）∵b_n=（1-a_n）²-a（1-a_n），
∴b_n+1=(1-an+1)2-a（1-a_n+1）．
即b_n=（1-n）²-a（1-n）=n²+（a-2）n+1-a，b_n+1=[1-（n+1）]²-a[1-（n+1）]=n²+an．
故b_n+1-b_n=2n+a-1，
再由b_n+1＞b_n對任意n∈N^*恒成立可得2n+a-1＞0恒成立，故a＞1-2n恒成立．
而1-2n的最大值為1-2=-1，故a＞-1，
即實數a的取值范圍（-1，+∞）．

點評：本題主要考查等差關系的確定，等差數列的通項公式，函數的恒成立問題，屬于難題．