Question

在如圖的直三棱柱中，，點是的中點.

(1)求證：∥平面；

(2)求異面直線與所成的角的余弦值；

(3)求直線與平面所成角的正弦值；

 

Answer 1

【答案】

（1）建立空間直角坐標系，利用向量證明，進而用線面平行的判定定理即可證明；

（2）

（3）

【解析】

試題分析：因為已知直三棱柱的底面三邊分別是3、4、5，

所以兩兩互相垂直，

如圖以為坐標原點,直線分別為軸、軸、軸

建立空間直角標系，                                                     ……2分

則，，.

（1）設與的交點為，連接,則

則 

∴∥， ∵內，平面

∴∥平面 ；                                                  ……4分

（2）∵ ∴，

.                              ……6分

∴；

∴所求角的余弦值為 .                                             ……8分

（3）設平面的一個法向量，則有：

，解得，.                                    ……10分

設直線與平面所成角為. 則，

所以直線與平面所成角的正弦值為.                 ……12分

（其它方法仿此酌情給分）

考點：本小題主要考查線面平行，異面直線所成的角和線面角.

點評：解決立體幾何問題，可以用判定定理和性質定理，也可以建立空間直角坐標系用向量方法證明，但是用向量方法時，也要依據相應的判定定理和性質定理，定理中需要的條件要一一列舉出來，一個也不能少.