Question

【題目】如圖，已知橢圓E： + =1（a＞b＞0）的左頂點A（﹣2，0），且點（﹣1， ）在橢圓上，F1、F2分別是橢圓的左、右焦點．過點A作斜率為k（k＞0）的直線交橢圓E于另一點B，直線BF2交橢圓E于點C．

（1）求橢圓E的標準方程；
（2）若△CF1F2為等腰三角形，求點B的坐標；
（3）若F1C⊥AB，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得a=2，將（﹣1， ）代入橢圓方程 ，解得：b= ，

∴橢圓E的標準方程：

（2）

解：由△CF1F2為等腰三角形，且k＞0，則點C在x軸下方，

1° 若丨F1C丨=丨F2C丨，則C（0，﹣ ）；

2° 若丨F1F2丨=丨CF2丨，則丨CF2丨=2，C（0，﹣ ）；

3° 若丨F1C丨=丨F1F2丨，則丨CF1丨=2，C（0，﹣ ）；

∴C（0，﹣ ）；

∴直線BC的方程y= （x﹣1），

由 ，得 或 ，

∴B（ ， ）

（3）

解：設直線AB的方程lAB：y=k（x+2），

由 ，整理得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，

∴xAxB=﹣2xB= ，xB= ，

yB=k（xB+2）= ，B（ ， ）

若k= ，則B（1， ），C（1，﹣ ），

由F1（﹣1，0），則 =﹣ ，F1C與AB不垂直；

∴ ，

由F2（1，0）， = ， =﹣ ，

∴直線BF2的方程 ，直線CF1的方程：

由 ，解得 ，

∴C（8k2﹣1，﹣8k）

又點C在橢圓上得 ，即（24k2﹣1）（8k2+9）=0，即 ，∵k＞0，

∴

【解析】（1）將點代入橢圓方程，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；（2）分類討論，求得C點坐標，設直線BC的方程，即可求得點B的坐標；（3）設直線AB的方程，代入橢圓方程，即可求得B點坐標，分別求得BF2及CF1方程，聯立，求得C點坐標，代入橢圓方程，即可求得k的值．