Question

8．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）過點(diǎn)M（1，-2），且焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；
（2）若直線l經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F，當(dāng)線段AB的長(zhǎng)等于5時(shí)，求直線l方程．
（3）若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，證明直線l必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)M代入拋物線方程，可得p，即可求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；
（2）利用拋物線中的弦長(zhǎng)公式，即可求直線l方程．
（3）直線l的方程為x=ty+b代入y²=4x，得y²-4ty-4b=0，利用韋達(dá)定理結(jié)合$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，求出b，即可證明直線l必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．

解答 解：（1）由2²=2p，得p=2，拋物線C的方程為y²=4x，
其準(zhǔn)線方程為x=-1，焦點(diǎn)為F（1，0）．
（2）若直線l經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F，則直線l的方程為x=ty+1．
代入拋物線方程可得y²-4ty-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4，則x₁+x₂=t（y₁+y₂）+2，
所以$|AB|={x_1}+{x_2}+p={x_1}+{x_2}+2=4{t^2}+2+2=5$，得t²=1，t=±1，直線l方程為x=±y+2．
（3）設(shè)直線l的方程為x=ty+b代入y²=4x，得y²-4ty-4b=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b．
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=（t{y_1}+1）（t{y_2}+1）+{y_1}{y_2}=-4b{t^2}+4b{t^2}+{b^2}-4b=-4$，
∴b=2，直線l必過一定點(diǎn)（2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．