Question

某港口的水深y（米）是時間t（0≤t≤24，單位：小時）的函數，下面是每天時間與水深的關系表：

t	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y	10	13	9.9	7	10	13	10.1	7	10

經過長期觀測，y=f（t）可近似的看成是函數y=Asinωt+b
（1）根據以上數據，求出y=f（t）的解析式
（2）若船舶航行時，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪幾段時間可以安全的進出該港？

Answer 1

分析：（1）由表中數據可以看到：水深最大值為13，最小值為7，求出b和A；再借助于相隔9小時達到一次最大值說明周期為12求出ω即可求出y=f（t）的解析式；
（2）把船舶安全轉化為深度f（t）≥11.5，即3sin

2π

9

t+10≥11.5；再解關于t的三角不等式即可求出船舶在一天中的哪幾段時間可以安全的進出該港．

解答：解：（1）由表中數據可以看到：水深最大值為13，最小值為7，
∴b=

13+7

2

=10，A=

13-7

2

=3
且相隔9小時達到一次最大值說明周期為12，
因此T=

2π

ω

=12，ω=

π

6

，
故f(t)=3sin

π

6

t+10（0≤t≤24）
（2）要想船舶安全，必須深度f（t）≥11.5，即3sin

π

6

t+10≥11.5
∴sin

π

6

t≥

1

2

，2kπ+

π

6

≤

π

6

t≤

5π

6

+2kπ
解得：12k+1≤t≤5+12k   k∈Z
又0≤t≤24
當k=0時，1≤t≤5；
當k=1時，13≤t≤17；
故船舶安全進港的時間段為（1：00-5：00），（13：00-17：00）．

點評：本題主要考查三角函數知識的應用問題．解決本題的關鍵在于求出函數解析式．求三角函數的解析式注意由題中條件求出周期，最大最小值等．