Question

某港口的水深y(米)是時間t(，單位：小時)的函數，下面是水深的數據：

根據上述數據描出的曲線如下圖所示，經擬合，該曲線可近似地看成正弦函數的圖象．

(1)試根據以上數據，求出的表達式；

(2)一般情況下，船舶航行時，般底離海底的距離不少于4.5米時是安全的，如果某般的吃水深度(般底與水面的距離)為7米，那么該般在什么時間段能夠安全進港?若該般欲當天安全離港，則在港內停留的時間最多不能超過多長時間(忽略進出港所用的時間)？

Answer 1

答案：略
解析：

(1)從擬合曲線可知：函數在一個周期內最大變到最小需9－3＝6(小時)，此為半個周期，所以函數的最小正周期為12小時，因此，． 又∵當t＝0時，y＝10；當t＝3時，， ∴，A＝13－10＝3． 于是所求的函數表達式為． (2)由于船的吃水深度為7米，船底與海底的距離不少于4.5米，故在船舶航行時水深y應大于等于7＋4.5＝11.5(米)． 由擬合曲線可知，一天24小時，水深y變化兩個周期，故要使船舶在一天內停留港口的時間最長，則應從凌晨3點前進港，而從第二個周期中的下午15點后離港． 令，可得． ∴， ∴． 取，則；取，則； 而取時，則(不合題意)． 從而可知船舶要在一天之內在港口停留時間最長，就應從凌晨1點后(1點到5點都可以)進港，而下午的17點(即13點到17點之間)前離港，在港內停留的時間最長為16小時．

提示：

(1)從擬合曲線可知：函數的周期：由t＝0時的函數值，t＝3時取得的最大值，進而可求得、A、b的值，即得函數的表達式． (2)根據(1)中求得的函數表達式，求出數值不小于4.5＋7＝11.5(米)的時段，從而就可回答題中的兩問．