Question

已知f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．
（1）求f（8）的值；      
（2）求不等式f（x）＞3+f（x-2）的解集．

Answer 1

分析：（1）令x=y=2，可求得f（4），繼而可求得f（8）的值；
（2）由（1）f（8）=3，可求得f（x）＞3+f（x-2）?f（x）＞f（8x-16），利用f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)即可求得答案．

解答：解：（1）由題意得f（8）=f（4×2）
=f（4）+f（2）
=f（2×2）+f（2）
=f（2）+f（2）+f（2）
=3f（2），
又∵f（2）=1，
∴f（8）=3…（6分）
（2）不等式化為f（x）＞f（x-2）+3
∵f（8）=3，
∴f（x）＞f（x-2）+f（8）=f（8x-16）…（8分）
∵f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)
∴解得2＜x＜

16

7

．
∴不等式f（x）＞3+f（x-2）的解集為{x|2＜x＜

16

7

}…（12分）

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應用，考查賦值法與函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，求得f（8）=3是關鍵，屬于中檔題．