Question

已知函數f（x）=（a²-a+1）x^a+2為冪函數，且為奇函數，設函數g（x）=f（x）+x．
（1）求實數a的值及函數g（x）的零點；
（2）是否存在自然數n，使g（n）=900？若存在，請求出n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：冪函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據冪函數的定義，和奇函數的定義先求出a的值，再根據零點求法，零點轉化為g（x）=0的實數根，解方程即可
（2）根據函數為增函數，然后驗證f（9）=738，f（10）=1010，即可得出．

解答： 解：（1）令a²-a+1=1，解得 a=0或a=1．…（1分）
當a=0時，f（x）=x²，它不是奇函數，不符合題意；
當a=1時，f（x）=x³，它是奇函數，符合題意．
所以a=1．  …（3分）
此時g（x）=x³+x．
令g（x）=0，即 x³+x=0，解得 x=0．
所以函數g（x）的零點是x=0．…（5分）
（2）設函數y=x³，y=x．因為它們都是增函數，所以g（x）是增函數．…（7分）
又因為 g（9）=738，g（10）=1010．    …（9分）
由函數的單調性，可知不存在自然數n，使g（n）=900成立． …（10分）

點評：本題主要考查函數的零點與方程的實數根的聯系，以及函數的單調性與函數值問題．