Question

用一個不平行于底面的平面去截圓錐，在圓錐內作大小兩個球分別與圓錐和截面相切.證明截面與兩個球的切點恰是橢圓的兩個焦點.

Answer 1

證明：

設兩個球與平面π的切點分別為F₁、F₂，與圓錐相切于圓S₁、S₂，在截口的曲線上任取一點P，連結PF₁、PF₂，過P作母線交S₁于Q₁，S₂于Q₂.

于是PF₁和PQ₁是從P到上方球的兩條切線，因此PF₁=PQ₁.

同理，PF₂=PQ₂.

∴PF₁+PF₂=PQ₁+PQ₂=Q₁Q₂.

由正圓錐的對稱性，Q₁Q₂的長度等于兩圓S₁、S₂所在平行平面間的母線段的長度，與P的位置無關.

∴截口橢圓的焦點是F₁、F₂，即截面與兩個球的切點恰是橢圓的兩個焦點.