Question

如圖，用一個不平行于底面的平面

去截圓錐，證明這個平面與圓錐的交線是一個橢圓.

Answer 1

思路點撥：

運用Dandelin雙球討論證明.

證明：如圖，在圓錐內部嵌入Dandelin雙球，一個位于平面π的上方，一個位于平面π的下方，并且與平面π均相切.

當平面π與底面的夾角β大于圓錐母線與底面的夾角時，平面π與圓錐的交線是一條封閉曲線.

設兩個球與平面π的切點分別為F₁、F₂，與圓錐相切于圓S₁、S₂，在截口的曲線上任取一點P，連結PF₁、PF₂，過P作母線交S₁于Q₁，S₂于Q₂.

于是PF₁和PQ₁是從P到上方球的兩條切線，因此,PF₁=PQ₁，同理，PF₂=PQ₂.

∴PF₁+PF₂=PQ₁+PQ₂=Q₁Q₂.

由正圓錐的對稱性，Q₁Q₂的長度等于兩圓S₁、S₂所在平行平面間的母線段的長度，與P的位置無關.

由此我們可以斷定截口的曲線是以F₁、F₂為焦點的橢圓.