Question

求下列圓的方程

(1)圓心在直線2x-y-3=0上，且過點(5，2)和點(3，-2).

(2)與y軸相切，圓心在直線x-3x=0上，且被直線y=x截得的弦長為.

Answer 1

解析：因為條件與圓心有直接關系，因此設圓的標準方程即可解決問題.

(1)∵圓過A(5，2)，B(3，-2)兩點，

∴圓心一定在線段AB的垂直平分線上.

線段AB的垂直平分線方程為y= (x-4).

設所求圓的圓心坐標為C(a,b)，則有

  解得

∴C(2，1),r=|CA|=.

∴所求圓的方程為    (x-2)²+(y-1)²=10.

(2)設圓C的方程為    (x-a)²+(y-b)²=r².

由圓C與y軸相切得|a|=r.                  ①

又圓心在直線x-3x=0上，∴a-3b=0.         ②

圓心C(a,b)到直線y=x的距離為  .

由于弦心距d、半徑r及弦的一半構成直角三角形，

∴.                ③

聯立①②③解方程組可得或

故圓C的方程為(x-3)²+(y-1)²=9或(x+3)²+(y+1)²=9.