Question

求下列圓的方程
（1）已知點A（-4，-5），B（6，-1），則以線段AB為直徑的圓的方程．
（2）過點A（1，-1）、B（-1，1）且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）由點A和點B的坐標，利用中點坐標公式求出線段AB的中點C的坐標，因為線段AB為所求圓的直徑，所以求出的中點C的坐標即為圓心坐標，然后由圓心C的坐標和點A的坐標，利用兩點間的距離公式求出|AC|的長即為圓的半徑，根據圓心和半徑寫出圓的標準方程即可．
（2）先設出圓的標準方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，然后把A和B的坐標代入到圓方程中得到①和②，又因為圓心在直線x+y-2=0上，所以代入得到③，聯立①②③，求出a，b，r的值即可得到圓的方程．

解答：解：（1）由中點坐標公式得線段AB的中點坐標為C（1，-3），即圓心的坐標為C（1，-3）；
r=|AC|=

(1+4)2+(-3+5)2

=

29

，
故所求圓的方程為：（x-1）²+（y+3）²=29．
（2）設圓的標準方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，根據已知條件可得
（1-a）²+（-1-b）²=r²，①
（-1-a）²+（1-b）²=r²，②
a+b-2=0，③
聯立①，②，③，解得a=1，b=1，r=2．
所以所求圓的標準方程為（x-1）²+（y-1）²=4．

點評：本題的考點是圓的標準方程，考查學生靈活運用中點坐標公式及兩點間的距離公式化簡求值，求圓心坐標和半徑是求圓的標準方程的關鍵，三元一次方程組的解法．